एक प्रश्न दिया गया है जिसके बाद दो कथन I और II हैं। प्रश्न और कथनों पर विचार करें और सही विकल्प चुनें। क्या (p + q)² - 4p q , जहाँ p, q प्राकृत संख्याएँ हैं, धनात्मक है? कथन I: p q . उपरोक्त प्रश्न और कथनों के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

दिया गया व्यंजक (p + q)squared - 4pq है। आइए इस व्यंजक को सरल करें: (p + q)squared - 4pq = (psquared + 2pq + qsquared) - 4pq = psquared - 2pq + qsquared = (p - q)squared

अब प्रश्न यह बन जाता है: क्या (p - q)squared धनात्मक है? हम जानते हैं कि p और q प्राकृत संख्याएँ हैं, जिसका अर्थ है p >= 1 और q >= 1।

सरलीकृत व्यंजक का विश्लेषण: एक वर्ग पद, जैसे (p - q)squared, हमेशा शून्य से बड़ा या उसके बराबर होता है। यह धनात्मक होता है यदि (p - q) शून्य के बराबर नहीं है, अर्थात्, यदि p, q के बराबर नहीं है। यह शून्य होता है यदि (p - q) शून्य के बराबर है, अर्थात्, यदि p = q।

अब कथनों का मूल्यांकन करें:

कथन I: p q यदि p > q है, तो p - q एक धनात्मक पूर्णांक होगा (उदाहरण के लिए, यदि p=2, q=1, तो p-q = 1)। चूंकि p - q एक गैर-शून्य पूर्णांक है, (p - q)squared एक धनात्मक पूर्णांक होगा (उदाहरण के लिए, (1)squared = 1)। इसलिए, यदि कथन II सत्य है, तो प्रश्न "क्या (p - q)squared धनात्मक है?" का उत्तर हाँ है। अतः, कथन II अकेले प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है।

विकल्पों पर विचार करते हुए: A) प्रश्न का उत्तर केवल एक कथन का उपयोग करके दिया जा सकता है, लेकिन दूसरे कथन का उपयोग करके अकेले उत्तर नहीं दिया जा सकता है। (गलत, क्योंकि दोनों पर्याप्त हैं) B) प्रश्न का उत्तर या तो अकेले कथन का उपयोग करके दिया जा सकता है। (सही, क्योंकि कथन I और कथन II दोनों व्यक्तिगत रूप से पर्याप्त हैं) C) प्रश्न का उत्तर दोनों कथनों को एक साथ उपयोग करके दिया जा सकता है, लेकिन किसी भी अकेले कथन का उपयोग करके उत्तर नहीं दिया जा सकता है। (गलत, क्योंकि दोनों अकेले पर्याप्त हैं) D) प्रश्न का उत्तर किसी भी कथन का उपयोग किए बिना भी दिया जा सकता है। (गलत, क्योंकि यदि p = q है, तो (p - q)squared = 0, जो धनात्मक नहीं है। कथनों के बिना, हमें यह नहीं पता कि p=q है या p!=q। कथन सुनिश्चित करते हैं कि p!=q।)

इस प्रकार, सही विकल्प B है क्योंकि प्रश्न का उत्तर देने के लिए कोई भी कथन अकेले पर्याप्त है।

अंतिम उत्तर B है।