मान लीजिए p + q = 10, जहाँ p, q पूर्णांक हैं। मान-I = p × q का अधिकतम मान जब p, q धनात्मक पूर्णांक हैं। मान-II = p × q का अधिकतम मान जब p ≥ - 6, q ≥ - 4। निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

p + q = 10 होने पर p * q का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, हम q को 10 - p के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। व्यंजक p * (10 - p) = 10p - p^2 हो जाता है। यह एक नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है, और इसका अधिकतम मान शीर्ष पर होता है, जो p = -10 / (2 * -1) = 5 है। जब p = 5, q = 10 - 5 = 5। गुणनफल p * q = 5 * 5 = 25 है।

मान-I: p * q का अधिकतम मान जब p, q धनात्मक पूर्णांक हैं। पूर्णांक p और q धनात्मक होने चाहिए और उनका योग 10 होना चाहिए। उनके गुणनफल को अधिकतम करने के लिए, वे यथासंभव निकट होने चाहिए। निकटतम धनात्मक पूर्णांक p = 5 और q = 5 हैं। p = 5, q = 5 के लिए: p * q = 5 * 5 = 25। धनात्मक पूर्णांकों के अन्य सभी युग्म (जैसे, 4, 6 या 3, 7) एक छोटा गुणनफल देंगे। अतः, मान-I = 25।

मान-II: p * q का अधिकतम मान जब p ≥ -6, q ≥ -4। हमने पहले ही स्थापित कर लिया है कि p + q = 10 के लिए p * q का निरपेक्ष अधिकतम p = 5, q = 5 पर होता है, जिससे 25 का गुणनफल प्राप्त होता है। हमें यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या ये मान दी गई बाधाओं को संतुष्ट करते हैं: p = 5 के लिए: क्या p ≥ -6? हाँ, 5 ≥ -6। q = 5 के लिए: क्या q ≥ -4? हाँ, 5 ≥ -4। चूंकि p=5 और q=5 बाधाओं को संतुष्ट करते हैं और निरपेक्ष अधिकतम गुणनफल देते हैं, मान-II भी 25 है।

मानों की तुलना: मान-I = 25 मान-II = 25 इसलिए, मान-I = मान-II।

सही विकल्प C है।